Lorsque il se déplace dans la géographie des mathématiques, le mathématicien perçoit peu à peu les contours et les structures incroyablement riche du monde mathématique. Il développe progressivement une sensibilité à la notion de simplicité qui lui donne de nouvelles régions du paysage mathématiques.
Alain Connes
Il n'a pas de mathématique sans philosophie,il n'a pas de philosophie sans mathématique et sans eux il y a rien
Descartes
la littérature le monde de l'émotion et de la créativité des sentiments et souvent de la logique.

Wallon et Piaget

Wallon
Le comportement intellectuel de l'enfant
La dépendance de la pensée à l'égard de ses comportements antérieurs est très marquée chez l'enfant.
Les situations et les problèmes peuvent être, par ceux de l'adulte, dégagés de toute contingence non intellectuelle. Avec l'enfant au contraire, l'activité mentale ne peut le plus souvent s'expliquer sinon sous le point de vue de son activité  totale. Les situations même intellectuelles restent personnelles.
L'objet n'est pas seulement , suivant une remarque souvent faite, conditionné ou altéré par ses désirs ou ses états affectifs, qui peuvent, soit d'une façon durable, soit momentanément, survenir dans sa conduite ou la motiver.
C'est un manque de liaison stable entre les moments de la vie psychique, cette insuffisance de continuité et de coordination mentale est elle-même en rapport avec un manque de maîtrise sur les instruments de la pensée.

Contradictions entre les  sources d'informations
Une première source de contradictions réelles ou en puissance résulte des réactions diverses pour lesquelles l'enfant communique avec le milieu, la part de son contact direct avec les choses est loin d'être aussi exclusive que la plupart des animaux, l'ambiance sociale commande aussi son existence.
Son impéritie pratique est compensée par l'expression qu'il sait donner à ses désirs.
Le pragmatisme y est aussi perceptif et ses explications sont données par le mode opératoire.
Entre  phénoménisme et syncrétisme, l'opposition semble manifeste , l'enfant est placé dans l'incohérence de ses contradictions, c'est à mesure qu'augmentera sa capacité de confronter entre elles ses représentations qu'il trouvera l'occasion de mieux les analyser,de les compléter ou de les rectifier.
L'anthropomorphisme de l'enfant n'est pas une projection de son moi dans les choses qu'il se représenterait à sa propre image, car il n'a pas conscience de lui-même, ce serait plutôt un résidu de sa sensibilité subjective qu'il y laisserait, avant d'avoir complètement réalisé la discrimination, d'ailleurs si sujette à s'effacer dans les moments critiques de la conscience.
L'antinomie que l'enfant ne peut s'empêcher de formuler, s' il y est passé, la plus primitive parait être celle qui ramènera l'existence du monde, au sujet qui en est l'image, comme à son auteur, mais sans pouvoir loger le sujet lui même ailleurs que dans ce monde.

La représentation globale ou syncrétique
Avec le syncrétisme, l'intelligence commence par émerger de l'activité pratique et de la vie affective car à l'échelle de l'individu, la persistance d'un certain syncrétisme ou la connaissance est sans doute la condition dans tous les domaines, esthétiques ou savants, d'une inventions vraiment nouvelle.
Faire passer le contenu de l'expérience simultanément de l'homogène et de l'opératoire, c'est faire passer du syncrétisme à l'intelligible. C'est substituer à ce mélange de confusion et de dissociation qu'est la représentation purement concrète des choses, le monde des relations, mais la découverte des relations ne se fait pas de plain-pied avec les choses qui doivent entrer en relation. Elle suppose un nouvel étage ou puisse s'opérer l'intégration de ces choses à un nouvel ordre fonctionnel. Celui ci représente à la fois leur réduction à une commune mesure et l'ensemble des opérations passent ou peuvent être mises en évidence par leurs situations particulières et leurs changements.

Naissance de la représentation
Des civilisations primitives montrent le rôle des rites destinés à mettre un lieu de continuité entre les choses rebelles et l'ordre imaginé, le rôle du mot, non pour décrire, mais comme inaction magique, le rôle du similaire comme instrument de communion avec les forces étrangères qu'il faut concilier.
L'homme revient à exercer sur les choses un autre pouvoir que celui de ses seules aptitudes sensori-motrices, à leur appliquer ce qui déjà l'unissait à ses congénères.
Le mimétisme a fait sortir la représentation avec tâtonnement de l'enfant pour mêler les choses par son appétit, ses gestes et sa sensibilité en les voulant ou les évitant, les attire, les rejette, les réclame, les reprouve non comme le complément de lui , mais, comme le complément  ou la partie de son être.
Il crée des relations et ses conduites automatiques, ou bien des unités par des actions nouvelles qui utilisent les dispositions, les structures pour s'y réaliser ou les maîtriser, c'est le domaine de l'intelligence perceptive et pratique.
La connaissance, au contraire, suppose des êtres séparés et opposables, mais d'abord opposables à celui qui connaît par les soucis de sa propre existence, il doit pouvoir faire un inventaire, qui commence par l'inventaire des mots de vocabulaire...
Dans le cas général
Dés que se pose le problème de comprendre ou d'expliquer se pose une équation ou il s'agit de discerner et de commissurer les termes. Concrète ou abstraite, sensible ou savante, elle suppose le pouvoir de rapporter les parties au tout, les résultats à ses éléments, le cas particulier à un cas général. Suivant les circonstances, il opère dans un sens ou dans l'autre, il doit être capable d'opérer tour à tour dans chacun des deux. La réversibilité est son fondement et sa preuve. Même ses formes les plus simples ne sont pas à la portée de l'enfant.

L'objet: la première étape de la comparaison
L'activité pratique connaît plus de situations que d'objets.
Après avoir réalisé sa perception, il faut apprendre à la penser.
Sauf si la pratique n'admet aucun remplacement, l'objet reste longtemps dans une zone intermédiaire entre le général et le singulier.
Penser les choses, c'est leur trouver une certaine unité pour que les différentes sortes d'identifications deviennent possibles et définitives, il faut que l'image des ressemblances et des différences deviennent indépendantes.
La pensée de l'enfant passe par ces trois moments successifs, d'abord le métamorphisme, puis la comparaison,  la ressemblance composée par l'analogie et l'identification.

Le caractère Normatif de la connaissance ces difficultés pour l'enfant.
C'est à de justes définitions que doit aboutir les connaissances des choses. Ainsi seulement elles sont identifiées et classées.
Mais la définition se heurte à d'insurmontables obstacles chez l'enfant.
Objet individuel, par ex: le jouet à la collection de jouet,s c'est l'extension puis une distinction qualitative entre l'individu et la collection c'est la compréhension avec double élimination et double intégration.
Nornilamisme et réalisme représentent le substantionliste qu'il faut envisager ses rapports.
Les opérations de pensée ne sont pas le simple décalque des opérations qui se poursuivent dans le monde, mais elles ne cessent de tendre à leur représentation fidèle. Elles ont leurs instruments qui sont les idées, avec ce qui peut leur donner un support et en faire un matériel maniable comme est le langage sous ses formes courantes et savantes.
Mais ces instruments ne sont rien que déception, s'il ne deviennent pas l'image fidèle des forces qui se manifestent dans les choses et les fait agir.
Il est soustrait au pur domaine de l'action pour éviter dans celui de la contemplatation ou de la spéculation.
L'abstrait exprime un ordre entre les choses, le schématique est au contraire une cause d'incohérence.
L'enfant éprouve une égale difficulté à rendre cohérente sa notion de l'objet qu'à rendre stable et distincte l'image d'une quantité , à grouper, à classer correctement des objets qu'à se représenter le cadre ou la règle qui doit les assembler.


Piaget

La pensée égocentrique diffère de la pensée socialisée représentée par ces caractères.
Premier caractère,caractère non discursif de la pensée lequel va droit dans des prémisses aux conditions, par un seul acte intuitif sans passer à la déduction.
Deuxième caractère, emploi de schéma d'imagerie.
Troisième caractère, le synchretisme de la pensée.
Quatrième caractère, croyance et assurance tel qu'il n'y ait plus d'essai de démonstration.
On peut être arriver à croire que la pensée égocentrique, qui produit ces phénomènes de syncrétisme, est plus proche de la pensée autistique et du rêve que de la pensée logique.
Les faits présentent plusieurs aspects qui s'apparentent aux rêves ou à la rêvasserie. Les rapprochements verbaux,voire calemburiques et surtout cette manière de laisser flotter sa pensée au grès des associations libres jusqu'à ce qu'un rapprochement se produisent entre deux propositions qui n'ont rien de commun au premier abord.
Néanmoins, il peut être utile de noter dés maintenant que tout nous engage à considérer le mécanisme de la pensée syncrétisme comme intermédiaire entre celui de la pensée logique et le"symbolisme" des rêves.

Il y a fabulation qui vient de l'analogie entre le synchrétisme et l'imagination qui obéit aux critères,
l'uniformité ou la constance numérique des réponses.
La différence d'âge des enfants certaines questions deviennent de la fabulation chez des sujets d'âge de 5-6 ans qui ne le comprennent pas et en font alors un jeu alors qu'a 7-8 ans elles sont comprise et prises aux sérieux.

L'arrivée à la réponse juste
Lorsque l'enfant arrive à la réponse juste, s'il change de procèdé, s'il renie d'un coup ce à quoi il semblait croire jusque là, dans ce cas il y a fabulation.
Donc le syncretisme est , par mécanisme même, l'intermédiaire entre la pensée autiste et la pensée logique, comme d'ailleurs, verrons nous toutes  les autres manifestations de la pensée égocentrique.

Réussir et comprendre
Le  propre des situations analysées en cet ouvrage étant de comporter une résistance des objets, d'où réussite des actions par étapes ou coordinations successives et non pas de façon précoce. On va donc vers une évolution avec l'âge et des groupes de la compréhension et de la réussite.